Pendahuluan.
Pembicaraan kita sejauh ini terbatas pada pernyataan dan rumusan pernyataan (formula). Simbol-simbol p, q, r, . . . semuanya diguna kan untuk pernyataan atau peubahnya. Analisa kalimat yang kita bicarakan lebih terfokuskan atau terkonsentrasikan pada pernyataan-pernyataan majemuk, dan bukan pada pernyataan sederhana. Kita tidak memperhatikan kemungkinan untuk mengekspresikan kenyataan bahwa dua pernyataan atau lebih mempunyai sifat-sifat kebersamaan.
Untuk itu akan diperkenalkan suatu konsep predikat pada kalimat sederhana. Logika yang berdasarkan analisa pedikat pada suatu pernyataan disebut logika predikat.
Untuk memahami predikat perhatikan contoh dibawah ini.
Pandang dua pernyataan dibawah ini :
1). Joko adl seorang mahasiswa.
2). Slamet adl seorang mahasiswa.
Jelas bahwa untuk menyajikan kedua pernyataan tsb diperlukan dua simbol yang berbeda. Akan tetapi kalau kita amati, kedua pernyataan tsb mempunyai sifat kebersamaan, yaitu “adl seorang mahasiswa” .
Simbol-simbol yg digunakan untuk menyajikan kedua pernyataan tsb tidak menunjukan adanya sifat kebersamaan diantara kedua kalimat tsb. Untuk itu diperkenalkan suatu simbol yg menunjukan sifat kebersamaan kalimat-kalimat (dlm contoh kita adl sifat “adl seorang mahsiswa” ) yang disebut dengan predikat
Dari contoh diatas jelaslah bhw unit dasar dp logika proposisional adalah pernyataan logis seperti “Baju ini berwarna merah”, atau “Bumi adl bulat”, yang mungkin dikombinasikan dengan “and”, “or”, “not” atau operator yang lain. Proposisi tersebut dapat true atau false.
Kita tak dapat memperoleh obyek yang lebih rendah lagi seperti misalnya “Baju” (yg berwarna putih, hitam, dll), “Bumi” (yg bulat, benjol, dll), dan bahkan juga variabel untuk menyajikan obyek-obyek tsb. Kita tak dapat mengekstraksikan misalnya konsep properti seperti “berwarna-merah” (being red) . Suatu kenyataan bahwa menggunakan logika, dlm banyak aplikasi, perlu untk dapat berbicara tentang obyek-obyek dng level yg lebih rendah tsb beserta properti yg mereka punyai.
Untuk itu semua maka akan dibicarakan logika predikat yg diawali dengan sajian secara informal dan kemudian secara formal.
Perhatikan bahwa pernyataan “ Semua manusia adl makhluk hidup” mengandung pernyataan “himpunan” dp manusia, dimana individu yg merupakan elemen dr “himpunan manusia” yg cacahnya dapat dianggap tak terhingga (banyuaaaak sekali). Dari pernyataan kedua, yaitu “Suta adl manusia” secara implisit menyatakan anggota dp “himpunan manusia”. Jadi hubungan antara kedua pernyataan tsb dengan struktur seperti diatas tidak ada dalam logika proposisional. Selanjutnya jika akan ditunjukan kebenaran dp pernyataan “Setiap manusia adl makhluk hidup” dalam logika proposisional, maka ha ruslah membuktikan kebenaran untuk setiap anggota dp “himpunan manusia” . Suatu hal yg tak mungkin.. Untuk itu maka sampailah kita pada Logika predikat, yaitu merupakan logika proposisi yang diperluas dng tiga komponen logika : term, predikat, dan kuantor.
Sebelum melangkah lebih jauh diberikan beberapa hal yg penting dalam memahami Logika Predikat atau Logika Order-Pertama.
Pada dasarnya Logika Order-Pertama adalah hasil perluasan dari logika proposisional dengan menambah 3 komponen logika yaitu : suku (term), predikat (predicate), dan kuantor (quantifier).
Perhatikan pernyataan :
x > 4
x = y + 2
Jika dianalisis, pernyataan “ x lebih besar dari 4” terdiri dari 2 (dua) bagian yaitu : 1). Variabel x sebagai subyek dari pernyataan dan
2). “Lebih besar dari 4” yg merupakan Predikat, yg menyatakan kriteria benar atau salah dr subyeknya.
Kita dapat merepresentasikan “ x lebih besar dari 4” dengan P(x), dimana P melambangkan predikat “lebih besar dari 4” , dan x adalah variabel. P(x) juga dapat disebut sebagai nilai daripada fungsi proposi si P pada x. Untuk nilai daripada x diberikan, maka P(x) memiliki ni lai kebenaran (mis. jika x = 5 maka P(x) bernilai kebenaran benar, ji ka x = 3 maka P(x) bernilai kebenaran salah).
Contoh.
Jika Q(x,y) menotasikan pernyataan x = y + 2, maka tentukan nilai kebenaran untuk Q(1,2) dan Q(3,1) ?
Untuk menjawabnya maka kita substitusikan x = 1 dan y = 2, sehingga Q(1,2) adalah 1 = 2 + 2 yang jelas salah sehingga Q(1,2) bernilai kebenaran salah. Untuk Q(3,1)
Latar Belakang
Pernyataan yang kita inginkan untuk mengekpresikan dituliskan dlm apa yang kenal dengan suatu bahasa order pertama yng dibangun dng pemikiran himpunan-himpuan khusus dp varibel, simbol tetapan, sim bol fungsi, dan predikat (simbol relasi).
Bila bicara dalam suatu bahasa order-pertama, maka dalam benak ki ta terpikir adanya himpunan dp obyek-obyek didalam pernyataan dlm bahasa tersebut dibicarakan. Ini dikenal sbg “universe of discourse”.
Variabel dp bahasa order-pertama berjangkauan pada seluruh dp suatu universe of discourse.
Simbol-simbol tetapan masing-masing merupakan hanya satu anggo ta yang berbeda dp universe of discourse.
Simbol fungsi merupakan suatu fungsi pd universe of discourse. Ter dapat simbol fungsi satu-tempat f(x), dan dua-tempat f(x,y) dan seterus nya.
Suatu Predikat adalah suatu simbol yang berarti suatu relasi. Dapat dipandang sebagai suatu fungsi yang mengantarkan pada suatu nilai T(rue) atau F(alse) (1 atau 0). Argumennya adalah term dp bahasa order-pertama.
Contoh:
Suatu predikat R(x) dapat dipandang (oleh programmer) sebagai sesu atu yg mirip dng suatu “fungsi Boolean” dalam bahasa Pascal yg meng hasilkan suatu hasil logis (Boolean) yg direlasikan dng suatu properti daripada argmennya x ; mis. “ If x2 > 9 then . . else . . “
Contoh dp Predikat , dengan banyaknya argumen yang berbeda :
Contoh Argumen Arti
Equal (m,n) m dan n adalah integer m dan n adalah sama
Sibling(Ari, Emon) dua nama orang Mereka sdr kandung
Ppt(f,p,g) Tiga bilangan integer F adl ppt dp bilangan integer p dan g
Diketahui suatu bahasa order-pertama , suatu interpretasi dp bahasa tersebut mempunyai suatu domain (atau Uiverse of Discourse) bersama-sama dengan assignments (penugasan) dp simbol tetapan, simbol fungsi, dan predikat pada tetapan aktuil, fungsi dan relasi dalam domain tersebut.
Catatan bhw predikat Equal(m,n) pd dirinya sendiri (on its own, yaitu pd kata Equal) adl suatu simbol unt relasi. Ia tidak untk kesamaan ke cuali ditugaskan sebagai relasi tersebut dalam suatu interpretasi.
Tegasnya adl bhw Equal (m,n), Sbling(a,b), Ptt(p,q,r) atau sebarang predikat lainnya adalah hanyalah nama (just names).
Kita dapat memandang bahwa interpretasi dimana domain dp UoD adalah himpunan dp integer dan Equal(m,n) adalah T(rue) jika dan hanya jika m dan n adalah integer yang sama. Bagimanapun juga kita dapat menginterpretasikan/mengartikan lain walaupun domain sama tetapi penugasan relasi Equal(m,n) berbeda dengan diatas, misalnya “m adalah lebih kecil dp n”. Sekali lagi Equal hanyalah nama saja boleh diinterpretasikan yang lain terserah pada interpretasi yang ditu gaskan.
Suatu predikat dapat ditugasi sebarang relasi tanpa memperhatikan namanya. Tetapi umumnya bilamana kita bekerja dlm logika predikat, kita berpikir tentang suatu interpretasi khusus yang akan kita sebut in terpretasi “termaksud” (intended interpretation). Dalam interpretasi ter maksud nama dp predikat memberikan suatu indikasi dp “arti termak sud” nya. Jadi jika menggunakan nama predikat equal (m,n), interpreta si termaksud adalah “equality” (“sama”).
Setiap predikat dp satu argumen adalah suatu mapping :
D ® {T,F}
dimana D adalah UoD (atau Domain).
Suatu predikat dp dua argumen adalah suatu mapping :
D x D ® {T,F} , dimana D adalah UoD (atau Domain).
Nilai kebenaran T dan F dapat dipandang sebagai suatu predikat dng nol argumen.
Kesemuanya itu adalah mempunyai hubungan yang dekat dengan pe ngertian himpunan karena obyek dp UoD harus berbentuk suatu him- punan, semua obyek yang memenuhi “Merah(x)” membentuk suatu subset dan yg memenuhi “Merah(x) Ù Kuning(x)” membentuk suatu himpunan yg merupakan irisan dp himpunan “Merah(x)” dan “Kuning(x)”. Juga yang memenuhi “Merah(x)ÚKuning(x)” adl union dp “Merah(x)” dan “Kuning(x)”.
Predikat dapat digunakan untuk menulis formula logis dimana obyek adalah anggota dp suatu UoD, contoh :
Kaya(orang) ® Dapat_membeli(orang,obyek)
(Besar(obyek) Ù Padat(obyek)) ® Berat(obyek)
Genap(x) ® Faktor(2,x)
Passport-UK(x) «Lahir-UK(x) Ù Passport-UK(Or-Tua(x))
Jadi kita telah dapat mencapai suatu notasi dimana kita dapat ber bicara tentang obyek dalam UoD kita, dan juga properti mereka daripada variabel level terendah untuk melengkapi proposisi logika.
Kuantor Universal dan Eksistensial.
Sejauh ini kita dapat mengekspresikan dalam logika, pernyataan khusus seperti :
A adalah pembohong
A berkata bahwa B . . . .
Tetapi kita tak dapat mengekpresikan ide yang lebih umum, (“semua. ..” ) seperti pada argumen logis seperti :
Semua manusia adalah makhluk hidup
Socrates adalah manusia
maka Socrates adalah makhluk hidup.
Jika diusahakan unt diekspresikan dlm logika proposisi maka didapat :
P
Q
maka R
Perhatikan bahwa pada contoh diatas jelaslah bahwa jika kalimat su dah diekspresikan dalam pernyataan proposisonal maka kita tak dapat lagi berkata tentang keabsahan suatu argumen karena kita tak dapat ma suk lebih dalam ke pernyataan tsb yaitu ke obyek level lebih rendah, misalnya tentang “manusia”, “Socrates”, dan “makhluk hidup”.
Maka diperlukan ekspresi “Semua A adalah B” sehingga didapat argu- men :
“Semua A adalah B” atau “Semua A mempunyai properti B” atau
“Semua obyek dalam himpunan A mempunyai properti B”
“C adalah suatu A” atau “C adalah dalam himpunan A “ atau
“C adalah suatu anggota dp himpunan B”
maka disimpulkan “ C adalah B “ atau “ C mempunyai properti B”
Contoh lain :
“ Semua Mhs klas B mendapat nilai A “
“ Suta Mhs dalam klas B”
maka disimpulkan
“ Suta mendapat nilai A “
Kuantor universal
Perhatikan sekuen dp formalisasi berikut :
(a) Setiap integer mempunyai faktor priem.
(b) Untuk semua x,
jika x adalah suatu integer
maka x mempunyai suatu faktor priem
(c) Untuk semua x, (Adl_integer(x) ® Punya_fak_priem(x))
dimana Adl_integer(x) adalah suatu predikat yang menyajikan “ x adl suatu integer “, dan Punya_fak_priem(x) adl suatu predikat yg menyaji kan “x mempunyai suatu faktor priem”
Dengan demikian contoh Socrates diatas menjadi :
Untuk semua x, (Adl_manusia(x) ® Adl_mkhluk_hidup(x))
“For All” disebut dng kuantor universal, dituliskan dng simbol "
Sehingga pernyataan diatas ditulis :
"x (Adl_integer(x) ® Punya_faktor_priem(x))
Perhatikan bahwa domain dp kuantifikasi adalah UoD, sehingga "x mempunyai arti “ For all x dalam universe of discourse . . . “
Universe of Discourse (UoD) adalah domain dp interpretasi yg dalam pertimbangan, atau lebih formal lagi , UoD adl himpunan dp obyek-obyek dimana kita bicarakan/diskusikan.
Dalam Bahasa Spesifikasi formal Z yang merupakan aplikasi Predi kat Logika pada definisi dp sistem dunia-nyata setiap kuantor diikuti oleh suatu definisi dp himpunan khusus dp nilai-nilai pada mana variabel mengambil nilai. Notasinya adalah :
"x :
Notasi tersebut digunakan pada Pemrograman Logika yg dibicarakan pada bagian lain.
Dalam Bahasa Spesifikasi formal Z yang merupakan aplikasi Predi kat Logika pada definisi dp sistem dunia-nyata setiap kuantor diikuti oleh suatu definisi dp himpunan khusus dp nilai-nilai pada mana variabel mengambil nilai. Notasinya adalah :
"x :
Notasi tersebut digunakan pada Pemrograman Logika yg dibicarakan pada bagian lain.
Scope dp variabel terkuantifikasi.
Pernyataan :
"x (Adl_integer(x) ® Punya_faktor_priem(x))
adl jelas ekuivalen dng :
"y (Adl_integer(y) ® Punya_faktor_priem(y))
Tetapi, kita tak dibenarkan untuk mengganti x dengan y pada pernyata an berikut :
"x (Adl_integer(x) Ù Punya_faktor_priem(y))
karena independensi dp kedua variabel x dan y menyebabkan makna pernyataan akan berubah total.
Scope dp variabel terkuantifikasi.
Pernyataan :
"x (Adl_integer(x) ® Punya_faktor_priem(x))
adl jelas ekuivalen dng :
"y (Adl_integer(y) ® Punya_faktor_priem(y))
Tetapi, kita tak dibenarkan untuk mengganti x dengan y pada pernyata an berikut :
"x (Adl_integer(x) Ù Punya_faktor_priem(y))
karena independensi dp kedua variabel x dan y menyebabkan makna pernyataan akan berubah total.
Scope dp variabel terkuantifikasi adl bagian dp formula dimana ia diaplikasikan. Jika suatu variabel x jatuh didalam scope daripada suatu "x, maka kemunculan dp variabel tersebut dikatakan kemunculan terikat, dan variabelnya disebut variabel terikat.
Dari kenyataan tersebut maka diperkenalkan istilah kemunculan variabel terikat dan kemunculan variabel bebas , sbb :
Kemunculan dari suatu variabel didalam formula disebut terikat (bound) jika dan hanya jika kemunculan tersebut terbatas pada ruang lingkup kuantor yng menggunakan variabel tersebut.
Kemunculan suatu variabel didalam formula disebut bebas (free) jika kemunculan variabel tersebut tidak terikat (not bound).
Scope dp variabel terkuantifikasi.
Selanjutnya diperkenalkan istilah variable terikat dan variabel bebas , sbb :
Variabel didalam suatu formula disebut variabel bebas jika paling sedikit satu kemunculannya tidak terikat didalam fornula tersebut.
Variabel pada suatu formula disebut variabel terikat jika paling sedikit satu kemunculannya terikat didalam formula tersebut
Scope dp variabel terkuantifikasi.
Dari perkenalan tersebut diatas maka diperoleh istilah Scope, dimana ia mempunyai ciri, yaitu : “Scope dp variabel terkuantifikasi adalah bagian dp formula dimana ia diaplikasikan.” Jika suatu variabel x berada dalam scope (ruang lingkup) dp suatu “ "x “, maka kemunculan dp variabel tersebut dikatakan suatu kemunculan yang terikat, dan variabel tersebut suatu variabel terikat (Hal ini sesuai dengan scope dp variabel dalam pemrograman, dan penamaan dp argumen prosedur dalam deklarasi prosedur).
Kita juga memerlukan untuk dapat menterjemahkan pernyataan dibawah ini :
Terdapatlah paling sedikit satu obyek x sedemikian sehingga Pred(x).
Kita dapat menjadikannya dengan menuliskan :
Ø"x(ØPred(x))
yg berarti :
Tidaklah benar bahwa properti false untuk semua anggota
atau
Tidaklah benar bahwa untuk semua anggota (x), anggota (x)
tidak mempunyai sifat Pred.
Kita kenalkan suatu kuator baru : terdapatlah (there exist) $, seperti pada :
$x(Pred(x))
yg dibaca :
Terdapatlah suatu nilai dp x sedemikian sehingga Pred(x)
Catatan .
Perhatikan : "x $y ( y = 2.x) (yg benar dalam interpretasi-termaksud, untk setiap integer terdapatlah integer yg sama dng dua kali nilai inte ger tsb) dan
$x "y (y = 2 x) ( yg tak benar, karena tak ada integer yang sama dengan dua kali setiap integer).
Urutan dp kuantor dp tipe yang berbeda sangatlah penting.
Terjemahan antara FoL (Fisrt-order Language) dan Bhs Harian
Dalam Komunikasi dengan komputer maka diperlukan untuk dapat mengekspresikan pernyataan dlm bahasa sehari-hari ke pernyataan logis (untuk dapat dikonversikan ke bahasa pemrograman, terutama bahasa Prolog) dan juga sebaliknya.
Jika menggunakan FoL, kuantifikasi dibenarkan hanya untuk suatu variabel. Jika restriksi ini dihilangkan maka kita akan sampai ke logika order-lebih tinggi (mis. “untuk semua predikat” dst).
Logika order-lebih tinggi merupakan logika lanjut. Pada bagian ini hanya akan berbicara menterjemahkan FoL ke bahasa natural. Jika diberikan bahwa arti dp semua predikat yang berada dlm formula diketahui, maka proses adalah sbb :
a).Terjemahkan formula dengan menulis arti secara literal dp simbol -simbol logis dan predikat seperti apa yang tertera.
b). Tuliskan dengan kata-kata kalimat sedemikian sehingga ia mem punyai arti logis yang sama (benar atau salah dp kalimat harus tak ber ubah) tetapi ditulis dalam bahasa natural yang lebih dapat diterima. Di hindari penggunaan nama-nama variabel
Contoh.
Andaikan dipunyai predikat sbb :
a). Truk(x) x adalah Truk
b). Mobil(x) x adalah Mobil
c). Sepeda(x) x adalah Sepeda
d). Lebih_Mahal(x,y) x adalah lebih mahal dp y
e). Lebih_Cepat(x,y) x adalah lebih cepat dp y
(a). Terjemahkan kedalam bahasa sehari-hari.
"x (Sepeda(x) ® $y (Mobil(y) Ù Lebih_Mahal(y,x))
Solusi :
Untuk semua x, jika x adalah suatu sepeda, maka terdapatlah suatu y sedemikian sehingga y adalah mobil dan y lebih mahal dp x
Tulis kembali :
Untuk setiap sepeda terdapatlah suatu mobil yg lebih mahal.
Contoh.
(b). Terjemahkan formula berikut ke bahasa natural.
"x"y ((Truk(x) Ù Sepeda(y)) ® Lebih_cepat(x,y))
Solusi
Secara literal maka :
Untuk semua x, untuk semua y, jika x adalah truk dan y adalah sepe da, maka x lebih cepat dp y.
Tulis kembali :
Setiap truk lebih cepat dp sebarang sepeda.
(c). Terjemahkan formula berikut ke bahasa natural.
$z (Mobil(z) Ù "x"y (Truk(x) Ù Sepeda(y)) ®
(Lebih_cepat(z,x) Ù Lebih_cepat(z,y) Ù Lebih_mahal(z,x)
Ù Lebih_mahal(z,y))))
Contoh.
(c). Terjemahkan formula berikut ke bahasa natural.
$z (Mobil(z) Ù "x"y (Truk(x) Ù Sepeda(y)) ®
(Lebih_cepat(z,x) Ù Lebih_cepat(z,y) Ù Lebih_mahal(z,x)
Ù Lebih_mahal(z,y))))
Solusi :
Terdapatlah z sedemikian sehingga z adl suatu mobil dan untuk semua x, untuk semua y jika x adl suatu truk dan y suatu sepeda, maka z lebih cepat dp x dan z adl lebih cepat dp y dan z lebih mahal dp x dan z adl lebih mahal dp y.
Ditulis kembali :
Terdapatlah suatu mobil yang lebih cepat dan lebih mahal dp sebarang truk dan sepeda.
Andaikan suatu kalimat diekspresikan dalam bahasa sehari-hari, di inginkan untuk disajikan dalam FoL.
Pertama-tama diidentifikasikan predikat yg inginkan dan kemudian kalimat diatur kembali sehingga ia mempunyai suatu formulasi logis. Formulasi logis berarti bahwa penghubung logis dan kuantor harus di buat eksplisit.
Jadi urutannya sbb :
a). Buat penafsiran mengenai pernyataan tersebut (jika kurang jelas).
b). Tentukan dan deklarasikan predikat-predikat yang digunakan.
c). Tentukan kuantor-kuantor yang diperlukan.
Contoh.
Setiap orang kehilangan uang pada pacuan kuda.
Solusi
(Catatan : kita tidak memperhatikan nilai kebenaran dp pernyataan ini , yg penting adalah bagaimana mengekspresikannya sebagai suatu formula logis order-pertama).
Jelas bahwa predikat dapat dicirikan sehingga didapat :
“ x kehilangan uang ” (yg akan disajikan dengan Hilang_uang(x)),
dan
“ x berada pada pacuan kuda ” (yg disajikan dng Pacu_kuda(x).)
Contoh.
Jadi kalimat “Setiap orang kehilangan uang pada pacuan kuda.” dapat diartikan/ditafsirkan bahwa , untuk semua orang yang berada pada pacuan kuda maka kehilangan uang , jadi kita dapat mendeduksi bahwa kuantornya adl “Untuk semua” dan terdapat satu penghubung logis “implikasi” sehingga kalimat dapat diatur kembali menjadi :
“Untuk semua x, jika x berada pada pacuan kuda maka x kehilangan uang”
Sehingga didapat hasilnya :
"x (Pacu_kuda(x) ® Hilang_uang(x))
Contoh.
Pada contoh diatas UoD adalah manusia, tetapi jika UoD nya adl makhluk hidup maka harus diperkenalkan predikat baru agar kalimat diatas mempunyai makna yaitu predikat Manusia(x) dan juga penggan deng baru “konjungsi”. Sehingga didapat hasilnya :
"x ((Manusia(x) Ù Pacu_kuda(x)) ® Hilang_uang(x))
yg berarti
“Untuk semua x, jika x adalah suatu makhluk hidup dan x
berada di pacuan kuda maka x kehilangan uang”
Contoh.
Terjemahkan kalimat berikut ke formula logis.
“Beberapa orang yg berada di pacuan kuda kehilangan uang tetapi be berapa orang yang cerdik tak kehilangan”
Solusi
Predikat yang diperlukan adl :
Pacuan_kuda(x) x orang yg berada di pacuan kuda
Hilang_uang(x) x orang yang kehilangan uang
Cerdik(x) x orang yang cerdik
Maka
“ Terdapatlah x sedemikian sehingga x berada di pacuan kuda dan x kehilangan uang, dan terdapatlah y sedemikian sehingga y bera da pada pacuan kuda, y cerdik dan tidak kehilangan uang”
Perhatikan bahwa kata “tetapi” diganti dengan “dan” sehingga dalam hal ini perlu penafsiran yang cermat.
Dengan demikian maka didapat formula :
$x (Pacuan_kuda(x) Ù Hilang_uang(x) Ù $y (Pacuan_kuda(y) Ù Cerdik(y) Ù ØHilang_uang(y))
Contoh.
Setiap Mahasiswa mempunyai seorang kawan belajar.
Solusi
Jika kalimat diatas ditafsirkan “Untuk setiap mahasiswa x ada maha siswa lain y, dimana y adalah kawan belajar x” , maka jelaslah bahwa predikat dapat dicirikan sehingga didapat : “ y adl kawan belajar x” yg disajikan dng Kawan_belajar(y,x). Selanjutnya dapat dideduksi kan bahwa terdapat kuantor “Untuk semua” dan “Terdapatlah “ sehi ngga didapat bentuk formula :
"x $y (Kawan_belajar(y,x))
Contoh.
Jika kalimat diatas ditafsirkan “Untuk setiap mahasiswa x ada maha siswa lain y, dimana y adalah kawan belajar x dan jika ada mahasiswa z maka jika z bukan y maka z bukan kawan belajar dng x” , maka jelaslah bahwa predikat dapat dicirikan sehingga didapat : “ y adl kawan belajar x” yg disajikan dng Kawan_belajar(y,x), selanjut nya dapat dideduksikan bahwa terdapat kuantor “Untuk semua”, “Ter dapatlah “, penggandeng logis “negasi”, “konjungsi”, sehingga didapat bentuk formula :
"x $y "z (Kawan_belajar(y,x) Ù ((z ¹ y)® ØKawan_belajar(z,x)))
Bantuan dalam mengekspresikan kalimat sehari-hari ke FoL.
(a). Jika menggunakan kuantor universal biasanya diikuti oleh peng gunaan implikasi.
Contoh :
“ Semua orang tua mempunyai rambut putih”
Andaikan Or_tu(x) adl “x adl orang tua“ dan Ra_tih(x) adl “ x berambut putih” m sehingga jika ditulis kembali :
“ Untuk semua x, jika x orang tua maka x mempunyai rambut putih”
dengan FoL : "x (Or_tu(x) ® Ra_tih(x) .
Sangat umum membuat pernyataan dengan menggunakan kuantor uni versal yang diikuti dengan implikasi selalu berbentuk :
“Untuk setiap anggota dari UoD, jika suatu kondisi dipenuhi maka kondisi yang lain dipenuhi “
Contoh : “Setiap laki-laki harus wajib militer”,
FoL adl : ("x)p(x)®q(x)
(b). Jika menggunakan suatu kuantor eksistensial biasanya diikuti dng suatu konjungsi.
Contoh : “Ada beberapa laki-laki yang tidak wajib militer”,
FoL adl : ($x)p(x) Ù q(x)
Contoh :
a). Setiap laki-laki harus wajib militer
b). Ada beberapa laki-laki yang tidak wajib militer
Ditulis sebagai berikut (ditafsirkan) :
a). Untuk setiap x, jika x laki-laki maka x harus wajib militer
b). Terdapat x sehingga x laki-laki dan x tidak wajib militer.
Didapat predikat : jika p (predikat) adalah menunjukkan sifat “laki-laki” dan q (predikat) menunjukkan sifat “wajib militer”, dan terdapat juga penggandeng logis “implikasi” serta “ konjungsi” maka kalimat tersebut dapat ditulis :
Contoh:
a). Pernyataan p : “Ada peserta kuliah Logika informatika mendapat
nilai A”
Ingkarannya :
Øp adalah : “ Tidak ada peserta kuliah logika informatika mendapat nilai A”
atau boleh dikatakan : “ Setiap peserta kuliah logika informatika mendapat nilai tidak A ”
Jika dua pernyataan tersebut ditulis dengan kuantor dan semesta pembicaraannya adalah semua peserta kuliah logika informatika, maka kalimat pertama : ($x)A(x) (A adalah sifat mendapat nilai A) dan yang kedua (negasinya ) : ("x)A(x)
b). Terjemahkan kalimat berikut ke bentuk FoL : “Setiap anak sekolah berpikir bahwa Matematika mata pelajaran yang sulit”.
Solusi .
Kalimat diformulasikan kembali menjadi :
“Untuk semua x, jika x adalah anak sekolah maka x berpikir bahwa matematika mata pelajaran yang sulit”
Andaikan :
- Anak_sekolah(x) adl “x adl anak sekolah”,
- Mpel_Sulit(x,y) adl “x berpikir bahwa y adl mata pelajaran yg sulit”
- m adalah “Matematika”
Maka kalimat menjadi :
"x (Anak_sekolah(x) ® Mpel_Sulit(x,m)
c). Pandang pernyataan dibawah ini : “beberapa pemain sepakbola tak akan pernah bermain dalam Liga Utama atau pada Divisi Papan- atas”
Kerjakan hal berikut :
c1). Terjemahkan ke logika predikat
c2). Negasikan formula logika pada jawab c1).
c3). Terjemahkan negasi tersebut pada c2) ke bahasa sehari-hari
Kalimat ditulis kembali :
“Terdapat x sedemikian sehingga x adalah pemain sepak bola dan x tak akan pernah bermain di Liga Utama atau pada Divisi Papan-atas”
Andaikan : Pemain_SB(x) adl x pemain sepak-bola, Liga_UT(x) adl “x akan bermain di Liga Utama”, dan Div_PA(x) adl “x bermain di Divisi Papan-atas”
